Diffusion|DDPM 理解、数学、代码

Diffusion

论文：Denoising Diffusion Probabilistic Models

参考博客；参考 paddle 版本代码： aistudio 实践链接

该文章主要对 DDPM 论文中的公式进行小白推导，并根据 ppdiffuser 进行 DDPM 探索。读者能够对论文中的大部分公式如何得来，用在了什么地方有初步的了解。

本文将包括以下部分：

1. DDPM 总览
2. Forward process： 包括论文中公式推导，以及其在 ppdiffusor 中代码参考
3. Reverse process： 包括论文中公式推导，以及其在 ppdiffusor 中代码参考
4. 优化目标推导：包括论文中公式推导，以及简单的伪代码描述
5. 探索与思考：通过打印，修改 ppdiffusor ddpm 代码，探索 DDPM 模型。

DDPM 总览

扩散模型在 2015 年已经被提出（Deep Unsupervised Learning using Nonequilibrium Thermodynamics），而 DDPM 将扩散模型应用在了图像生成领域上。

DDPM 的大致思想是：用 AI 构建一个模型，相比于一步到位生成图像，我们让这个模型每次生成一小步，经过 T 步后，图像就完成了。

img

如上图，给定原图片 $x_0$，DDPM 考虑每次在图像 $x_{t-1}$ 上加入噪声，得到图像 $x_t$，在经过多次加噪后，$x_t$ 就几乎变成了噪声。

而后我们训练模型，使其能根据带有噪声的图片 $x_{t}$ 预测 $x_{t-1}$ （具体在 DDPM 中不直接对像素进行预测，该环节可以参考 Reverse process）

Forward Process

给定原图片 $x_0$，Forward Process 的目标是生成 $x_1, x_2, ..., x_T$ 如上图。方式就是每一次在原图上加上随机的噪声 $\epsilon_t = N(0,1)$ 。论文中假设加噪过程符合分布 $q(x_t|x_{t-1}) =N (x_t; \sqrt {1-\beta_t} x_{t-1}, \beta_tI)$ ，因此我们可以通过以下公式来迭代生成。

$$x_t = \sqrt\alpha_t x_{t-1} + \sqrt\beta_t\epsilon_t\tag 1$$

其中 $\alpha_t = 1-\beta_t$。通过 $(1)$ 式不断套娃可以得到：

$$x_t = \sqrt {\alpha_t...\alpha_1}x_0 +\underbrace {\sqrt {\alpha_t...\alpha_2\beta_1}\epsilon_1 + ... +\sqrt {\alpha_t\beta_{t-1}}\epsilon_{t-1} + \sqrt\beta_t\epsilon_t}_{\text{ 噪声项 }}\tag 2$$

因为 $\epsilon$ 为相互独立的正态分布，根据正态分布的叠加性， $(2)$ 式中的噪声项可视为均值为 0，方差为 $1-\alpha_t...\alpha_1$ 的分布。

$$\begin{aligned} &\alpha_t...\alpha_1 + \alpha_t...\alpha_2\beta_1 + ...+ \alpha_t\beta_{t-1}+\beta_t \\ = & (\alpha_1+\beta_1)\alpha_t...\alpha_2 +...+ \alpha_t\beta_{t-1}+\beta_t \\ = &\alpha_{t}+\beta_t \\=&1 \end{aligned}$$

因此得出论文的前向扩散公式$(4)$:

$$q(x_t|x_0) =N (x_t; \sqrt {\bar \alpha_t} x_0, (1-\bar\alpha_t)I),\bar \alpha_t=\prod_T\alpha_t \tag 4$$

在该步骤中，$\beta$ 被设置成了不可学习参数，范围在 [1e-4, 0.02] 之间，随着时间步 t 线性变换，这也极大的简化了训练时的优化目标推理。此外，DDPM 设置了 T=1000，在加噪 1000 步之后，图像就完全变成了无信号的电视画面。

在 ppdiffusor 中，公式 $(4)$ 对应 DDPMScheduler.add_noise()。

如果你参考了 DDPM 官方文档，那么公式 $(4)$ 对应的是 q_sample() 函数。

Reverse process

Reverse process 的目的是 能根据带有噪声的图片 $x_{t}$ 预测 $x_{t-1}$。这一步希望拟合的分布是 $p_\theta(x_{t-1}|x_t) = N (x_{t-1}; \mu _\theta (x_t, t), \Sigma_\theta (x_t, t))$。其中，作者假设方差项 $\Sigma_\theta (x_t, t) = \sigma_t^2=\beta_t$。（当然原论文中还提出了其他的方差项，我们不在此讨论）

首先我们能够通过 $(4)$ 推理得到（论文中的公式 $(15)$）：

$$x_{0} = \frac 1{\sqrt {\bar \alpha_t}}(x_t-\sqrt{1-\bar\alpha_t}\epsilon_t) \tag 5$$

因此图像采样过程可以定义为 $q(x_{t-1}|x_t)=q(x_{t-1}|x_t, x_0) = N (x_{t-1}; \mu _\theta (x_t, x_0), \sigma_t I)$，采样过程可以视为马尔科夫链，通过 $q(x_{t-1}|x_t, x_0)$ 以及贝叶斯定理，我们能够更好地写出 reverse process 的表达式 。

$$\begin{aligned} &q\left(\mathbf{x}_{t-1} \mid \mathbf{x}_t, \mathbf{x}_0\right) =\\ &\exp \left(-\frac{1}{2}\left(\left(\frac{\alpha_t}{\beta_t} + \frac{1}{1-\bar{\alpha}_{t-1}}\right) \mathbf{x}_{t-1}^2-\left(\frac{2 \sqrt{\alpha_t}}{\beta_t} \mathbf{x}_t+\frac{2 \sqrt{\bar{\alpha}_{t-1}}}{1-\bar{\alpha}_{t-1}} \mathbf{x}_0\right) \mathbf{x}_{t-1} + C\left(\mathbf{x}_t, \mathbf{x}_0\right)\right)\right) \end{aligned} \tag 6$$

公式推导 公式推导

$$\begin{aligned} q\left(\mathbf{x}_{t-1} \mid \mathbf{x}_t, \mathbf{x}_0\right) &=q\left(\mathbf{x}_t \mid \mathbf{x}_{t-1}, \mathbf{x}_0\right) \frac{q\left(\mathbf{x}_{t-1} \mid \mathbf{x}_0\right)}{q\left(\mathbf{x}_t \mid \mathbf{x}_0\right)} \\ & \propto \exp \left(-\frac{1}{2}\left(\frac{\left(\mathbf{x}_t-\sqrt{\alpha_t} \mathbf{x}_{t-1}\right)^2}{\beta_t}+\frac{\left(\mathbf{x}_{t-1}-\sqrt{\bar{\alpha}_{t-1}} \mathbf{x}_0\right)^2}{1-\bar{\alpha}_{t-1}}-\frac{\left(\mathbf{x}_t-\sqrt{\bar{\alpha}_t} \mathbf{x}_0\right)^2}{1-\bar{\alpha}_t}\right)\right) \\ &=\exp \left(-\frac{1}{2}\left(\frac{\mathbf{x}_t^2-2 \sqrt{\alpha_t} \mathbf{x}_t \mathbf{x}_{t-1}+\alpha_t \mathbf{x}_{t-1}^2}{\beta_t}+\frac{\mathbf{x}_{t-1}^2-2 \sqrt{\bar{\alpha}_{t-1}} \mathbf{x}_0 \mathbf{x}_{t-1}+\bar{\alpha}_{t-1} \mathbf{x}_0^2}{1-\bar{\alpha}_{t-1}}-\frac{\left(\mathbf{x}_t-\sqrt{\bar{\alpha}_t} \mathbf{x}_0\right)^2}{1-\bar{\alpha}_t}\right)\right) \\ &=\exp \left(-\frac{1}{2}\left(\left(\frac{\alpha_t}{\beta_t}+\frac{1}{1-\bar{\alpha}_{t-1}}\right) \mathbf{x}_{t-1}^2-\left(\frac{2 \sqrt{\alpha_t}}{\beta_t} \mathbf{x}_t+\frac{2 \sqrt{\bar{\alpha}_{t-1}}}{1-\bar{\alpha}_{t-1}} \mathbf{x}_0\right) \mathbf{x}_{t-1}+C\left(\mathbf{x}_t, \mathbf{x}_0\right)\right)\right) \end{aligned}$$

把上式对应到正态分布公式当中，可以得到论文中的公式 $(7)$

$$\begin{aligned} \sigma_t^2=\tilde{\beta}_t &=\frac{1-\bar{\alpha}_{t-1}}{1-\bar{\alpha}_t} \cdot \beta_t \\ \tilde{\boldsymbol{\mu}}_t\left(\mathbf{x}_t, \mathbf{x}_0\right) &= \frac{\sqrt{\alpha_t}\left(1-\bar{\alpha}_{t-1}\right)}{1-\bar{\alpha}_t} \mathbf{x}_t+\frac{\sqrt{\bar{\alpha}_{t-1}} \beta_t}{1-\bar{\alpha}_t} \mathbf{x}_0 \end{aligned} \tag 7$$

公式推导

$$\begin{aligned} \sigma_t^2=\tilde{\beta}_t &=1 /\left(\frac{\alpha_t}{\beta_t}+\frac{1}{1-\bar{\alpha}_{t-1}}\right)\\&=1 /\left(\frac{\alpha_t-\bar{\alpha}_t+\beta_t}{\beta_t\left(1-\bar{\alpha}_{t-1}\right)}\right)\\&=\frac{1-\bar{\alpha}_{t-1}}{1-\bar{\alpha}_t} \cdot \beta_t \\ \tilde{\boldsymbol{\mu}}_t\left(\mathbf{x}_t, \mathbf{x}_0\right) &=\left(\frac{\sqrt{\alpha_t}}{\beta_t} \mathbf{x}_t+\frac{\sqrt{\bar{\alpha}_{t-1}}}{1-\bar{\alpha}_{t-1}} \mathbf{x}_0\right) /\left(\frac{\alpha_t}{\beta_t}+\frac{1}{1-\bar{\alpha}_{t-1}}\right) \\ &=\left(\frac{\sqrt{\alpha_t}}{\beta_t} \mathbf{x}_t+\frac{\sqrt{\bar{\alpha}_{t-1}}}{1-\bar{\alpha}_{t-1}} \mathbf{x}_0\right) \frac{1-\bar{\alpha}_{t-1}}{1-\bar{\alpha}_t} \cdot \beta_t \\ &=\frac{\sqrt{\alpha_t}\left(1-\bar{\alpha}_{t-1}\right)}{1-\bar{\alpha}_t} \mathbf{x}_t+\frac{\sqrt{\bar{\alpha}_{t-1}} \beta_t}{1-\bar{\alpha}_t} \mathbf{x}_0 \end{aligned}$$

由于在采样过程中我们不知道真实的 $x_0$，所以用 $x_t$ 来预测 $x_0$ ，即本文公式 $(5)$ 。这样采样过程变为：

$$\begin{aligned} \hat x_{t-1} &=\frac 1{\sqrt { \alpha_t}}(x_t-\frac{\beta_t}{\sqrt{1-\bar\alpha_t}}\epsilon_\theta(x_t,t)) + \sigma_t z\\ &\text{where }z=N(0,I) \end{aligned}\tag 8$$

公式推导

$$\begin{aligned} \hat x_{t-1} &= \mu_\theta(x_t,x_0) + \sigma_tz\\ &= \frac{\sqrt{\alpha_t}\left(1-\bar{\alpha}_{t-1}\right)}{1-\bar{\alpha}_t} \mathbf{x}_t+\frac{\sqrt{\bar{\alpha}_{t-1}} \beta_t}{1-\bar{\alpha}_t} \mathbf{x}_0 + \sqrt { \frac{1-\bar{\alpha}_{t-1}}{1-\bar{\alpha}_t} \beta_t}·z\\ &=\frac{\sqrt{\alpha_t}\left(1-\bar{\alpha}_{t-1}\right)}{1-\bar{\alpha}_t} \mathbf{x}_t +\frac{\sqrt{\bar{\alpha}_{t-1}} \beta_t}{1-\bar{\alpha}_t}(\frac {\sqrt {\bar \alpha_t}}(x_t-\sqrt{1-\bar\alpha_t}\epsilon_\theta) )+\sqrt{\frac{1-\bar{\alpha}_{t-1}}{1-\bar{\alpha}_t} \beta_t}·z\\ &= \frac 1 {\sqrt \alpha _t}x_t\left( \frac{\beta_t+\alpha_t-\bar\alpha_t}{1-\bar \alpha_t} \right) + \frac {\beta_t}{\sqrt \alpha_t\sqrt {1-\bar\alpha_t}}\epsilon_\theta + \sqrt{\frac{1-\bar{\alpha}_{t-1}}{1-\bar{\alpha}_t}\beta_t}\cdot z\\ &=\frac 1{\sqrt { \alpha_t}}(x_t-\frac{\beta_t}{\sqrt{1-\bar\alpha_t}}\epsilon_\theta(x_t,t)) + \sigma_t z\\ &\text{where }z=N(0,I) \end{aligned}$$

Reverse process 该部分对应的为 ppdiffusor.DDPMScheduler.step。DDPM 论文提供的 Tensorflow 版代码链接为 link。

• 上文公式 (5) 在官方代码中对应 predict_start_from_noise，在 paddle 中对应 ppdiffusor.DDPMScheduler.step 的

pred_original_sample = (sample - beta_prod_t**(0.5) * model_output) / alpha_prod_t**(0.5)

• 上文公式 $(7)$ 在官方代码中对应 q_posterior_mean_variance，在 ppdiffusor.DDPMScheduler.step 对应。

pred_prev_sample = pred_original_sample_coeff * pred_original_sample + current_sample_coeff * sample

细心的朋友们会发现官方给的代码中，sampling 方式分为：

$$x_t\xrightarrow{model} \epsilon_\theta(x_t,t) \xrightarrow {\text{ 公式 }(5)}\hat x_0(x_t, \epsilon_\theta) \xrightarrow {\text{ 公式 }(7)}\mu(x_t, \hat x_0),\beta_t\xrightarrow{sampling}x_{t-1}$$

但其实这等价于：

$$x_t\xrightarrow{\text{ 公式 } (8)} x_{t-1}$$

• 上文公式 $(8)$

上文公式 $(8)$ 根据 $(5),(7)$ 推理得来，因此如果在 ppdiffusor.DDPMScheduler.step 中将采样过程全部替换为：

prev_sample = (sample - model_output * self.betas[t]/(1-self.alphas_cumprod[t])  **0.5)/self.alphas[t]**  (
           0.5) + variance

那么结果会是一样的，我们将在之后的代码探索中尝试验证它。

优化目标

在训练过程中，我们只需要对每个 $t$ 步骤添加的噪声 $\epsilon_\theta$ 进行损失优化就行。以下两个角度出发都能够说明拟合 $\epsilon_\theta$ 是有效的。在部分版本的 DDPM 代码中，开可以看到作者们设置的 pred_noise 参数，用于选择模型的预测目标为噪声 $\epsilon_\theta$ 或者图像像素 $x_{t-1}$。

从论文的变分边界角度出发

我们的目标是获得 $x$ 的生成模型，因此可以优化：

$$\begin{aligned} \mathbb E[-\log p_\theta(x_0)] \le \mathbb E \left[-\log p_\theta(x_T) - \sum_{t\ge1}\log\frac{p_\theta(x_{t-1}|x_t)}{q(x_t|x_{t-1})} \right] =L_{VLB} \end{aligned}\tag{11}$$

公式推导

$$\begin{aligned} \mathbb E[-\log p_\theta(x_0)] &= \mathbb E\left[-\log p_\theta(x_0) \int p_\theta(x_{1:T})dx_{1:T}\right] \\ &= \mathbb E \left[-\log \int p_\theta(x_{0:T})dx_{1:T}\right]\\ &= \mathbb E\left[-\log \int \frac {p_\theta(x_{0:T})}{q(x_{1:T}|x_0)}q(x_{1:T}|x_0)dx_{1:T} \right ] \\ &\le \mathbb E\left[- \log\frac{p_{\theta(x_{0:T})}}{\int q(x_{1:T}|x_0)q(x_{1:T}|x_0)dx_{1:T}}\right] \\ &=\mathbb E\left[-\log \frac {p_\theta(x_{0:T})}{q(x_{1:T}|x_0)} \right] \\ &= \mathbb E \left[-\log p_\theta(x_T) - \sum_{t\ge1}\log\frac{p_\theta(x_{t-1}|x_t)}{q(x_t|x_{t-1})} \right] =L_{VLB} \end{aligned}$$

因此我们得到了论文中的公式 $(3)$，我们只需要对其中的变分边界进行优化即可：

$$\begin{aligned} L_{VLB}&= \mathbb{E}_q\left[\underbrace{D_{\mathrm{KL}}\left(q\left(\mathbf{x}_T \mid \mathbf{x}_0\right) \| p\left(\mathbf{x}_T\right)\right)}_{L_T}+\sum_{t>1} \underbrace{D_{\mathrm{KL}}\left(q\left(\mathbf{x}_{t-1} \mid \mathbf{x}_t, \mathbf{x}_0\right) \| p_\theta\left(\mathbf{x}_{t-1} \mid \mathbf{x}_t\right)\right)}_{L_{t-1}} \underbrace{-\log p_\theta\left(\mathbf{x}_0 \mid \mathbf{x}_1\right)}_{L_0}\right] \end{aligned}\tag {12}$$

公式推导

$$\begin{aligned} L_{VLB}&=\mathbb{E}_q\left[-\log p_\theta\left(\mathbf{x}_T\right)+\sum_{t=2}^T \log \frac{q\left(\mathbf{x}_t \mid \mathbf{x}_{t-1}\right)}{p_\theta\left(\mathbf{x}_{t-1} \mid \mathbf{x}_t\right)}+\log \frac{q\left(\mathbf{x}_1 \mid \mathbf{x}_0\right)}{p_\theta\left(\mathbf{x}_0 \mid \mathbf{x}_1\right)}\right] \\ &=\mathbb{E}_q\left[-\log p_\theta\left(\mathbf{x}_T\right)+\sum_{t=2}^T \log \left(\frac{q\left(\mathbf{x}_{t-1} \mid \mathbf{x}_t, \mathbf{x}_0\right)}{p_\theta\left(\mathbf{x}_{t-1} \mid \mathbf{x}_t\right)} \cdot \frac{q\left(\mathbf{x}_t \mid \mathbf{x}_0\right)}{q\left(\mathbf{x}_{t-1} \mid \mathbf{x}_0\right)}\right)+\log \frac{q\left(\mathbf{x}_1 \mid \mathbf{x}_0\right)}{p_\theta\left(\mathbf{x}_0 \mid \mathbf{x}_1\right)}\right] \\ &=\mathbb{E}_q\left[-\log p_\theta\left(\mathbf{x}_T\right)+\sum_{t=2}^T \log \frac{q\left(\mathbf{x}_{t-1} \mid \mathbf{x}_t, \mathbf{x}_0\right)}{p_\theta\left(\mathbf{x}_{t-1} \mid \mathbf{x}_t\right)}+\sum_{t=2}^T \log \frac{q\left(\mathbf{x}_t \mid \mathbf{x}_0\right)}{q\left(\mathbf{x}_{t-1} \mid \mathbf{x}_0\right)}+\log \frac{q\left(\mathbf{x}_1 \mid \mathbf{x}_0\right)}{p_\theta\left(\mathbf{x}_0 \mid \mathbf{x}_1\right)}\right] \\ &=\mathbb{E}_q\left[-\log p_\theta\left(\mathbf{x}_T\right)+\sum_{t=2}^T \log \frac{q\left(\mathbf{x}_{t-1} \mid \mathbf{x}_t, \mathbf{x}_0\right)}{p_\theta\left(\mathbf{x}_{t-1} \mid \mathbf{x}_t\right)}+\log \frac{q\left(\mathbf{x}_T \mid \mathbf{x}_0\right)}{q\left(\mathbf{x}_1 \mid \mathbf{x}_0\right)}+\log \frac{q\left(\mathbf{x}_1 \mid \mathbf{x}_0\right)}{p_\theta\left(\mathbf{x}_0 \mid \mathbf{x}_1\right)}\right] \\ &=\mathbb{E}_q\left[\log \frac{q\left(\mathbf{x}_T \mid \mathbf{x}_0\right)}{p_\theta\left(\mathbf{x}_T\right)}+\sum_{t=2}^T \log \frac{q\left(\mathbf{x}_{t-1} \mid \mathbf{x}_t, \mathbf{x}_0\right)}{p_\theta\left(\mathbf{x}_{t-1} \mid \mathbf{x}_t\right)}-\log p_\theta\left(\mathbf{x}_0 \mid \mathbf{x}_1\right)\right]\\ &= \mathbb{E}_q\left[\underbrace{D_{\mathrm{KL}}\left(q\left(\mathbf{x}_T \mid \mathbf{x}_0\right) \| p\left(\mathbf{x}_T\right)\right)}_{L_T}+\sum_{t>1} \underbrace{D_{\mathrm{KL}}\left(q\left(\mathbf{x}_{t-1} \mid \mathbf{x}_t, \mathbf{x}_0\right) \| p_\theta\left(\mathbf{x}_{t-1} \mid \mathbf{x}_t\right)\right)}_{L_{t-1}} \underbrace{-\log p_\theta\left(\mathbf{x}_0 \mid \mathbf{x}_1\right)}_{L_0}\right] \end{aligned}$$

因此我们得到了论文中的公式 $(5)$ ，通过以上式子可以看出 $L_T$ 部分为 forward process 分布，在我们之前的设定下是无法优化的，$L_0$ 是固定的噪声，因此我们可以优化 $L_{t-1}$ 项。因为我们在前面假设了 $q(x_{t-1}|x_t,x_0)$ 与 $p_\theta(x_{t-1}|x_t)$ 都服从正态分布，因此根据：

$$\begin{aligned} K L\left(\mathcal{N}\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right) \| \mathcal{N}\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)\right) &=\log \frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}-\frac{1}{2}+\frac{\sigma_{1}^{2}+\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)^{2}}{2 \sigma_{2}^{2}} \end{aligned}\tag{13}$$

公式推导

$$\begin{aligned} K L\left(\mathcal{N}\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right) \| \mathcal{N}\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)\right) &=\int_{x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{1}} e^{-\frac{\left(x-\mu_{1}\right)^{2}}{2 \sigma_{1}^{2}}} \log \frac{\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{1}} e^{-\frac{\left(x-\mu_{1}\right)^{2}}{2 \sigma_{1}^{2}}}}{\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{2}} e^{-\frac{\left(x-\mu_{2}\right)^{2}}{2 \sigma_{2}^{2}}}} d x \\ &=\int_{x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{1}} e^{-\frac{\left(x-\mu_{1}\right)^{2}}{2 \sigma_{1}^{2}}}\left[\log \frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}-\frac{\left(x-\mu_{1}\right)^{2}}{2 \sigma_{1}^{2}}+\frac{\left(x-\mu_{2}\right)^{2}}{2 \sigma_{2}^{2}}\right] d x \\&=\log \frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}-\frac{1}{2}+\frac{\sigma_{1}^{2}+\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)^{2}}{2 \sigma_{2}^{2}} \end{aligned}\tag{13}$$

其中

$$\begin{aligned}\log \frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}} \int_{x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{1}} e^{-\frac{\left(x-\mu_{1}\right)^{2}}{2 \sigma_{1}^{2}}} d x &=\log \frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}\\ -\frac{1}{2 \sigma_{1}^{2}} \int_{x}\left(x-\mu_{1}\right)^{2} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{1}} e^{-\frac{\left(x-\mu_{1}\right)^{2}}{2 \sigma_{1}^{2}}} d x&=-\frac{1}{2 \sigma_{1}^{2}} \sigma_{1}^{2}=-\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2 \sigma_{2}^{2}} \int_{x}\left(x-\mu_{2}\right)^{2} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{1}} e^{-\frac{\left(x-\mu_{1}\right)^{2}}{2 \sigma_{1}^{2}}} d x &=\frac{1}{2 \sigma_{2}^{2}} \int_{x}\left(x^{2}-2 \mu_{2} x+\mu_{2}^{2}\right) \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{1}} e^{-\frac{\left(x-\mu_{1}\right)^{2}}{2 \sigma_{1}^{2}}} d x\\ &=\frac{\sigma_{1}^{2}+\mu_{1}^{2}-2 \mu_{1} \mu_{2}+\mu_{2}^{2}}{2 \sigma_{2}^{2}}=\frac{\sigma_{1}^{2}+\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)^{2}}{2 \sigma_{2}^{2}} \end{aligned}\tag{14}$$

因此：

$$\begin{aligned} L_{t-1} &= D_{\mathrm{KL}}\left(q\left(\mathbf{x}_{t-1} \mid \mathbf{x}_t, \mathbf{x}_0\right) \| p_\theta\left(\mathbf{x}_{t-1} \mid \mathbf{x}_t\right)\right) \\&=D_{\mathrm{KL}}\left(\mathcal{N}\left(\mathbf{x}_{t-1} ; \tilde{\boldsymbol{\mu}}\left(\mathbf{x}_t, \mathbf{x}_0\right), \sigma_t^2 \mathbf{I}\right) \| \mathcal{N}\left(\mathbf{x}_{t-1} ; \boldsymbol{\mu}_\theta\left(\mathbf{x}_t, t\right), \sigma_t^2 \mathbf{I}\right)\right) \\ &=\frac{1}{2 \sigma_t^2}\left\|\tilde{\boldsymbol{\mu}}_t\left(\mathbf{x}_t, \mathbf{x}_0\right)-\boldsymbol{\mu}_\theta\left(\mathbf{x}_t, t\right)\right\|^2 + C \end{aligned}\tag{15}$$

所以我们得到了论文中的公式 $(8)$。

由于我们在前面假设了 $q(x_{t-1}|x_t,x_0)$ 与 $p_\theta(x_{t-1}|x_t)$ 的方差值相同，因此上式中 $C=0$。将公式 $(5)$ 带入，得到：

$$\begin{aligned} L_t &=\mathbb{E}\left[\frac{\left(1-\alpha_t\right)^2}{2 \alpha_t\left(1-\bar{\alpha}_t\right)\sigma^2}\left\|\boldsymbol{\epsilon}_t-\boldsymbol{\epsilon}_\theta\left(\sqrt{\bar{\alpha}_t} \mathbf{x}_0+\sqrt{1-\bar{\alpha}_t} \boldsymbol{\epsilon}_t, t\right)\right\|^2\right] \end{aligned}\tag {16}$$

公式推导

$$\begin{aligned} L_t &=\mathbb{E}\left[\frac{1}{2\sigma^2}\left\|\tilde{\boldsymbol{\mu}}_t\left(\mathbf{x}_t, \mathbf{x}_0\right)-\boldsymbol{\mu}_\theta\left(\mathbf{x}_t, t\right)\right\|^2\right] \\ &=\mathbb{E}\left[\frac{1}{2\sigma^2}\left\|\frac{1}{\sqrt{\alpha_t}}\left(\mathbf{x}_t-\frac{1-\alpha_t}{\sqrt{1-\bar{\alpha}_t}} \boldsymbol{\epsilon}_t\right)-\frac{1}{\sqrt{\alpha_t}}\left(\mathbf{x}_t-\frac{1-\alpha_t}{\sqrt{1-\bar{\alpha}_t}} \boldsymbol{\epsilon}_\theta\left(\mathbf{x}_t, t\right)\right)\right\|^2\right] \\ &=\mathbb{E}\left[\frac{\left(1-\alpha_t\right)^2}{2 \alpha_t\left(1-\bar{\alpha}_t\right)\sigma^2}\left\|\boldsymbol{\epsilon}_t-\boldsymbol{\epsilon}_\theta\left(\mathbf{x}_t, t\right)\right\|^2\right] \\ &=\mathbb{E}\left[\frac{\left(1-\alpha_t\right)^2}{2 \alpha_t\left(1-\bar{\alpha}_t\right)\sigma^2}\left\|\boldsymbol{\epsilon}_t-\boldsymbol{\epsilon}_\theta\left(\sqrt{\bar{\alpha}_t} \mathbf{x}_0+\sqrt{1-\bar{\alpha}_t} \boldsymbol{\epsilon}_t, t\right)\right\|^2\right] \end{aligned}\tag {16}$$

因此我们得到了论文中的公式 $(12)$，在训练时直接对噪声 $\epsilon$ 进行优化即可，论文也提出在优化时，忽略公式 $(12)$ 前面的系数，效果更好。

从优化像素的角度出发

生成扩散模型漫谈（一）：DDPM = 拆楼 + 建楼 从优化像素的角度出发进行了推理，得到了与论文相似的优化函数形式。

大致思路是直接对图像进行优化：

$$L = ||x_{t-1} - \hat x_{t-1}||^2\tag 9$$

由于在预测时候我们不知道原先噪声，因此使用预测的噪声 $\epsilon_\theta$ 来预测图像 $\hat x_{t-1} = \frac 1{\sqrt {\alpha_t}}(x_t-\sqrt{1-\alpha}\epsilon_\theta(x_t,t))$ ，带入 $(9)$ 式得到：

$$\begin{aligned} L &= ||\frac 1{\sqrt {\alpha_t}}(x_t-\sqrt{1-\alpha_t}\epsilon) - \frac 1{\sqrt { \alpha_t}}(x_t-\sqrt{1-\alpha_t}\epsilon_\theta(x_t, t))||^2\\ &= \frac {1-\alpha_t}{\alpha_t}||\epsilon_t - \epsilon_\theta(x_t, t) ||^2\\ &= \frac {1-\alpha_t}{\alpha_t}||\epsilon_t - \epsilon_\theta\left(\sqrt{\alpha_t} \mathbf{x}_0+\sqrt{1-{\alpha}_t} \boldsymbol{\epsilon}_t, t\right) ||^2 \end{aligned}\tag {10}$$

当然以上只是进行了大致流程概括，实际推理过程还需要考虑方差过大等细节问题，详细请参考 生成扩散模型漫谈（一）：DDPM = 拆楼 + 建楼。

模型优化过程

根据上述的公式，我们只需要建立模型，对噪声进行拟合即可。以下伪代码参考了 DDPM 论文提供的代码，展示 DDPM 优化过程逻辑：

def train_losses(self, model, x_start, t):
    noise = torch.randn_like(x_start)
    x_noisy = self.q_sample(x_start, t, noise=noise)
    predicted_noise = model(x_noisy, t)
    loss = F.mse_loss(noise, predicted_noise)
    # 部分网友提到此处使用 mse 可能导致 loss 太小，在低精度训练情况下，模型先收敛后发散
    return loss

DDPM 论文中采用的 model 为 UNET（并做了一些优化配置），我们不展开讨论。其中 $t$ 为时间步。在真实训练中并非对一张图片的 1000 个时间布都进行学习，而是随机选取时间步

for epoch in range(epochs):
    for step, (images, labels) in enumerate(train_loader):
        optimizer.zero_grad()
        
        batch_size = images.shape[0]
        images = images.to(device)
        
        # sample t uniformally for every example in the batch
        t = torch.randint(0, timesteps, (batch_size,), device=device).long()
        
        loss = gaussian_diffusion.train_losses(model, images, t)
        
        if step % 200 == 0:
            print("Loss:", loss.item())
            
        loss.backward()
        optimizer.step()

探索与思考

为什么 DDPM 效果更好？

笔者猜想是否因为优化目标从图片像素便到了噪声，优化目标变小，更好拟合了？？此外，DDPM 相比于单步的 VAE 效果更好，可能因为：

VAE 同样假设建模对象符合正态分布，对于微小变化来说，可以用正态分布足够近似地建模，类似于曲线在小范围内可以用直线近似，多步分解就有点像用分段线性函数拟合复杂曲线，因此理论上可以突破传统单步 VAE 的拟合能力限制。 -- 引用来源 生成扩散模型漫谈（二）：DDPM = 自回归式 VAE

代码（torch 版本）

参考代码 TF-DDPM torch-DDPM :

其中函数分别以及对应的公式：

• q_sample 对应本文公式 $(4)$： $x_t = \sqrt {\bar\alpha_t} x_0 + \sqrt {1 - \bar\alpha_t} \epsilon$.
• predict_start_from_noise 对应本文公式 $(5)$: $x_{0} = \frac 1{\sqrt {\bar \alpha_t}}(x_t-\sqrt{1-\bar\alpha_t}\epsilon)$.
• q_posterior_mean_variance 对应本文公式 $(7)$:

$$\begin{aligned} \tilde{\beta}_t &=\frac{1-\bar{\alpha}_{t-1}}{1-\bar{\alpha}_t} \cdot \beta_t\\ \mu _t(x_t, x_0) &= \frac{\sqrt {\hat\alpha_{t-1}}\beta }{1-\hat\alpha_t}x_0 + \frac {\sqrt \alpha_t (1-\hat\alpha_{t-1})}{1-\hat\alpha_t}x_t \end{aligned}$$

• p_mean_variance 对应本文公式 $(5)+(7)$.
• p_sample 对应 p_mean_variance + 本文公式 $(8)$.

细心的朋友们会发现官方给的代码中，sampling 方式分为：

$$x_t\xrightarrow{model} \epsilon_\theta(x_t,t) \xrightarrow {\text{ 公式 }(5)}\hat x_0(x_t, \epsilon_\theta) \xrightarrow {\text{ 公式 }(7)}\mu(x_t, \hat x_0),\beta_t\xrightarrow{sampling}x_{t-1}$$

但其实这等价于：

$$x_t\xrightarrow{\text{ 公式 } (8)} x_{t-1}$$

经过测试，将 p_sample 部分的代码换成上面这个公式后，采样生成图片的结果是一样的。

模型方面 DDPM 采用了 UNET 作为 backbone，在传播过程中加入了三角函数位置编码，用于传递采样步骤 $t$ 的信息。在训练过程中，图像的像素被缩放到了 [-1, 1] 的区间进行模型学习，在预测编码的时候映射回到 [0, 255]。

此外论文中的 UNET 还加入了 attention 等操作，能够提高打榜分数，但如果采用基础的自编码器效果也是够好的。

训练过程

根据官方的代码，优化时直接对噪声进行优化，即：

def train_losses(self, model, x_start, t):
    noise = torch.randn_like(x_start)
    x_noisy = self.q_sample(x_start, t, noise=noise)
    predicted_noise = model(x_noisy, t)
    loss = F.mse_loss(noise, predicted_noise)
    # 部分网友提到此处使用 mse 可能导致 loss 太小，在低精度训练情况下，模型先收敛后发散
    return loss

其中 $t$ 为时间步。在真实训练中并非对一张图片的 1000 个时间布都进行学习，而是随机选取时间步：

for epoch in range(epochs):
    for step, (images, labels) in enumerate(train_loader):
        optimizer.zero_grad()
        
        batch_size = images.shape[0]
        images = images.to(device)
        
        # sample t uniformally for every example in the batch
        t = torch.randint(0, timesteps, (batch_size,), device=device).long()
        
        loss = gaussian_diffusion.train_losses(model, images, t)
        
        if step % 200 == 0:
            print("Loss:", loss.item())
            
        loss.backward()
        optimizer.step()

代码（ppdiffuser 版本）

查看采样过程中的渐变图片

我们需要在 DDPMScheduler.step 中，将 prev_sample 打印出来，首先运行一个图片采样过程：

import sys
sys.path.append("ppdiffusers")
sys.path.append("ppdiffusers/ppdiffusers")

from ppdiffusers import DDPMPipeline

# 加载模型和 scheduler
pipe = DDPMPipeline.from_pretrained("google/ddpm-celebahq-256")
pipe.scheduler.config.clip_sample =False
# 执行 pipeline 进行推理
output = pipe(seed=777)

images = output[0].images
image = images[0]
# 保存图片
all_images = output[1]  # 保存了所有预测过程中的 x_t
all_x_0 = output[2]  # 保存了所有预测过程中的 x_0，参考本文公式 5
image.show()

我们打印所有过程图片 $x_t$，看到了论文中描述的从噪声逐步采样到完成图片的过程：

from matplotlib import pyplot as plt

plt.figure(figsize=(10,5))
count = 0
for i in range(1,1000,50):
    img = all_images[i][0].resize((64,64))
    count += 1
    plt.subplot(5,10,count)
    plt.imshow(img)
    plt.axis("off")
    
plt.show()

image-20230816225157005

接下来我们打印所有中间预测过的 $x_0$（参考本文公式 $(5)$），能够发现模型在一开始对 $x_0$ 仅停留在一个模糊的预测：比如颜色，大致位置，轮廓等。而后在面的过程中，对图片的一些细节才逐步有了刻画。

plt.figure(figsize=(10,5))
count = 0
for i in range(1,1000,50):
    img = all_x_0[i][0].resize((64,64))
    count += 1
    plt.subplot(5,10,count)
    plt.imshow(img)
    plt.axis("off")
plt.show()

image-20230816225220451

验证将

$$x_t\xrightarrow{model} \epsilon_\theta(x_t,t) \xrightarrow {\text{ 公式 }(5)}\hat x_0(x_t, \epsilon_\theta) \xrightarrow {\text{ 公式 }(7)}\mu(x_t, \hat x_0),\beta_t\xrightarrow{sampling}x_{t-1}$$

替换为：

$$x_t\xrightarrow{\text{ 公式 } (8)} x_{t-1}$$

后的结果（参考本文 Reverse process 部分）

将 ppdiffusers/ppdiffusers/schedulers/DDPMScheduler.step 中 pred_prev_sample 预测方式改为

pred_prev_sample = (sample - model_output * self.betas[t]/(1-self.alphas_cumprod[t])  **0.5)/self.alphas[t]**  (
           0.5) + variance

得出与原先相近的图片。由于采样过程中存在对预测的 $x_0$ clip 的情况（见 DDPMScheduler 中的 config.clip_sample 参数）。因此两者在代码上来说，并不是完全等价的。这个影响在 DDIM （DENOISING DIFFUSION IMPLICIT MODELS）中会相对严重，笔者将在下一个笔记中一起来探讨 DDIM。

参考

科学空间 - 生成扩散模型漫谈系列博客

小小将 - 扩散模型之 DDPM

DDPM 论文代码 TF 版

DDPM Torch 版